4. Erkunden der Daten

In diesem Kapitel befassen wir uns mit Methoden, die wir einsetzen können, um die Daten zu verstehen. Man spricht auch vom Lernen der Daten. Das heißt, dass wir uns Wissen über die Struktur, den Umfang (z.B. Größe und Anzahl von Datenpunkten) sowie den Wertebereich der Daten aneignen müssen. Eventuell wird auch ein Verständnis der Datenquellen benötigt, wenn die Richtigkeit und Zuverlässigkeit der Daten relevant sind oder wir die Gründe für unvollständige Daten näher beleuchten wollen.

Es gibt sehr viele Methoden, die man zur Erkundung von Daten einsetzen kann. Die Erkundung selbst ist ein durch Werkzeuge unterstützter interaktiver Prozess. Es ist üblich, verschiedene Werkzeuge zu benutzen, abhängig vom Aspekt, den man aktuell erkunden möchte. Im Folgenden stellen wir einige wichtige Werkzeuge vor, die uns dabei helfen, Daten zu verstehen.

Im Folgenden nutzen wir die Notation \(x = (x_1, ..., x_n)\) mit \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{R}\). Der Wert \(x\) beschreibt also einen Vektor von reellen Zahlen. Wenn es sich bei \(x\) um eine Teilmenge der möglichen Daten handelt, nennt man \(x\) auch Stichprobe (engl. sample). Der Einfachheit halber können Sie sich \(x\) auch einfach als Menge von Zahlen vorstellen. Dies ist zwar für die Vorstellung oft einfacher, jedoch formal nicht korrekt, da Mengen nicht das gleiche Element mehrfach enthalten können, Datensätze jedoch schon.

4.1. Texteditoren und die Kommandozeile

Bereits sehr einfache Werkzeuge können uns helfen, die Daten zu verstehen. Texteditoren und einfache Kommandozeilenbefehle wie head, more und less ermöglichen es, sich den Inhalt der Textdateien direkt anzusehen. Hierdurch kann man beliebige Daten, die nicht im Binärformat vorliegen, inspizieren. Das ist durchaus häufig der Fall, zum Beispiel bei Comma-Separated Values (CSV), der eXtensible Markup Language (XML) oder der JavaScript Object Notation (JSON). Wir könnten uns zum Beispiel direkt den Quelltext dieses Kapitels anschauen, um das Format der Daten, die in Jupyter Notebooks gespeichert werden, zu verste-hen:

!head kapitel_04.ipynb
{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ceramic-tiger",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Erkunden der Daten\n",
    "\n",
    "In diesem Kapitel befassen wir uns mit Methoden, die wir einsetzen können, um die Daten zu verstehen. Man spricht auch vom *Lernen der Daten*. Das heißt, dass wir uns Wissen über die Struktur, den Umfang (z.B. Größe und Anzahl von Datenpunkten) sowie den Wertebereich der Daten aneignen müssen. Eventuell wird auch ein Verständnis der Datenquellen benötigt, wenn die Richtigkeit und Zuverlässigkeit der Daten relevant sind oder wir die Gründe für unvollständige Daten näher beleuchten wollen.\n",

Durch diesen einfachen Befehl, der nur die ersten Zeilen der Datei anzeigt, können wir viel über die Daten lernen: Die Daten sind im JSON-Format als Liste von Zellen (cells) gespeichert. Für jede Zelle werden der Typ, ein Identifier, eventuelle Metadaten sowie der Quelltext der Zelle als Liste gespeichert, wobei jeder Listeneintrag eine Zeile des Quelltextes darstellt. All das erfahren wir nur mit einem einfachen Kommandozeilenbefehl.

Bemerkung:

Man kann durch ein Ausrufezeichen als Präfix beliebige Kommandozeilenbefehle (z.B. bash) direkt aus einem Jupyter Notebook aufrufen. Daher ist !head in einem Jupyter Notebook äquivalent zur Eingabe von head direkt in der Kommandozeile. Welche Befehle zur Verfügung stehen, hängt von der Ausführungsumgebung ab. Weil die Kommandozeile von Windows den Befehl head nicht kennt, würde dies zum Beispiel dort eventuell nicht funktionieren.

Dies ist natürlich nur eine Möglichkeit, die Art, wie Jupyter Notebooks Daten speichern, zu betrachten. Und wie bei den meisten sehr einfachen Lösungen gibt es natürlich auch Schwächen. Es ist zum Beispiel nicht klar, ob es noch weitere Informationen gibt, die für Zellen gespeichert werden könnten, da der betrachtete Auszug eventuell nicht alle Möglichkeiten des Datenformats ausschöpft. Daher ist es auch wichtig, dass die Metadaten betrachtet werden, in diesem Fall die Dokumentation des Datenformats 1. Dort findet man zum Beispiel heraus, dass es noch weitere Felder gibt, wie zum Beispiel das Feld nbformat, um die Version des Datenformats anzuzeigen. Eine gute Dokumentation der Metadaten beschreibt das Datenformat vollständig, das heißt, welche Felder es gibt, welche Informationen in einem Feld gespeichert werden und wie die Felder zusammenhängen.

Die Metadaten sind nicht notwendigerweise auf die Beschreibung der Daten selbst beschränkt. Es könnten zum Beispiel auch Links zu weiterführenden Informationen zur Verfügung gestellt werden. Außerdem könnten auch die Datenquellen beschrieben sein. Was man in den Metadaten üblicherweise nicht vorfindet, ist eine Beschreibung der Werte, die die Daten in einem Datensatz haben. Hier findet man höchstens Beispiele, die veranschaulichen, welche Werte angenommen werden können. Dies ist ein Nachteil gegenüber der direkten Betrachtung der Daten, wobei die Erkenntnisse über die Werte der Daten, die man mithilfe eines Texteditors bekommen kann, ebenfalls stark limitiert sind, gerade bei großen Datenmengen. Hierfür sind die Statistiken und Visualisierungen, die wir im Folgenden betrachten, deutlich besser geeignet.

4.2. Deskriptive Statistik

Die deskriptive Statistik beschäftigt sich mit der Beschreibung von Eigenschaften eines Datensatzes durch einzelne, häufig numerische Werte. Deskriptive Statistiken sollten nicht mit induktiver Statistik verwechselt werden, bei der es darum geht, Eigenschaften von Daten vorherzusagen. Entsprechend sollte man nicht annehmen, dass deskriptive Statistiken für zuverlässige Vorhersagen von zukünftigen Werten geeignet sind.

In diesem Kapitel betrachten wir die folgenden deskriptiven Statistiken:

  • Die Lage der Daten (engl. central tendency),durch das arithmetische Mittel, den Median und den Modus

  • Die Variabilität der Daten durch die Standardabweichung, den Interquartilsabstand (IQR) und den Median der absoluten Abweichung vom Median (MAD)

  • Die Datenbereich (engl. range) durch das Minimum und Maximum

Es gibt noch viele weitere deskriptive Statistiken für die obigen Eigenschaften, die wir in diesem Kapitel nicht betrachten, zum Beispiel das harmonische Mittel für die Lage. Außerdem gibt es noch weitere Eigenschaften, die sich durch deskriptive Statistiken erfassen lassen, zum Beispiel die Form (engl. shape) der Daten durch die Kurtose (Wölbung) und die Schiefe (engl. skewness). Diese gehen jedoch über die Betrachtungen dieses Kapitels hinaus und werden häufig auch nicht benötigt, insbesondere wenn man deskriptive Statistiken zusammen mit Visualisierungen benutzt.

4.2.1. Lagemaße

Die Lage der Daten ist ein wichtiges statistisches Merkmal, das den typischen Wert im Zentrum der Daten beschreibt. Dies bedeutet nicht, dass viele Datenpunkte exakt diesen Wert haben oder dass man in der Zukunft erwarten könnte, häufig diesen Wert zu beobachten. Stattdessen markiert die Lage die “Mitte” der Daten. Wenn Sie sich die Daten als Stadt vorstellen, markiert die Lage also nur den Mittelpunkt der Stadt. Das heißt jedoch nicht, dass dort besonders viele Häuser stehen.

Es gibt verschiedene Wege, die Lage von Daten zu definieren. Das arithmetische Mittel ist definiert als

\[mean(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,\]

also die Summe der Datenpunkte geteilt durch ihre Anzahl. Häufig spricht man auch einfach vom Mittelwert der Daten (engl. mean). Das arithmetische Mittel ist eine gute Beschreibung der Lage, wenn die Daten normalverteilt oder gleichverteilt sind. Im Allgemeinen sollte man das arithmetische Mittel nur verwenden, wenn zwei Eigenschaften erfüllt sind:

  1. Es gibt keine “Lücken” in den Daten, also keine größeren Bereiche, in denen keine Werte liegen. Dies bedeutet insbesondere auch, dass die Daten keine Ausreißer haben sollten.

  2. Die Daten sind symmetrisch um das arithmetische Mittel verteilt, das heißt, dass die Verteilung links und rechts des arithmetischen Mittels in etwa gleich sein sollte.

Statistische Methoden, die derartige Annahmen an die Verteilung von Daten machen, nennt man auch parametrische Statistiken. Wenn diese Eigenschaften nicht erfüllt sind, sollte man das arithmetische Mittel nicht verwenden, da der Wert eventuell die Lage nicht gut beschreibt. Wir werden uns später noch anhand von Anscombes Quartett anschauen, wie die Werte von Statistiken irreführend sein können.

Eine Alternative zum arithmetischen Mittel ist der Median, der definiert ist als

\[\begin{split}median(x) = \begin{cases}\bar{x}_{m} & \text{wenn}~n~\text{ungerade ist mit}~m=\frac{n+1}{2} \\ \frac{1}{2}(\bar{x}_{m}+\bar{x}_{m+1}) & \text{wenn}~n~\text{gerade ist mit}~m=\frac{n}{2},\end{cases}\end{split}\]

wobei \(\bar{x}\) ein nach der Größe sortierter Vektor der Werte von \(x\) ist. Entsprechend ist der Median wortwörtlich in der Mitte der Daten: 50% der Daten sind kleiner oder gleich dem Median und 50% sind größer oder gleich dem Median. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist der Median eine nicht parametrische Statistik. Das bedeutet, dass der Median unabhängig von der Verteilung eingesetzt werden kann, zum Beispiel wenn die Annahmen an das arithmetische Mittel nicht erfüllt sind. Insbesondere ist der Median robust gegen Ausreißer, kann also nicht durch wenige besonders hohe oder niedrige Werte beeinflusst werden.

Dies kann man sich auch an einem einfachen Beispiel verdeutlichen. Zuerst betrachten wir das arithmetische Mittel und den Median für Daten, bei denen die Annahmen des arithmetischen Mittels erfüllt sind:

import statistics  # we use the statistics from the Python standard library

data = [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]

print('Daten ohne Ausreißer:', data)
print('mean:  ', statistics.mean(data))
print('median:', statistics.median(data))
Daten ohne Ausreißer: [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
mean:   7.500909090909091
median: 7.58

In diesem Beispiel sind die Werte vom Median und vom arithmetischen Mittel ähnlich und beide sind gut geeignet, um die Lage zu beschreiben. Jetzt erweitern wir die Daten um einen einzelnen Ausreißer.

data.append(100)
print('Daten mit Ausreißer:', data)
print('mean:  ', statistics.mean(data))
print('median:', statistics.median(data))
Daten mit Ausreißer: [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68, 100]
mean:   15.209166666666667
median: 7.81

Durch den Ausreißer wird das arithmetische Mittel stark beeinflusst, sodass es jetzt deutlich höher ist. Es ist sogar höher als alle Datenpunkte, die wir ursprünglich betrachtet haben. Das ist offensichtlich keine gute Beschreibung der Mitte der Daten. Im Vergleich dazu hat sich der Median kaum verändert und ist nur zum Mittelwert mit dem nächst höherem Wert geworden, da wir jetzt eine gerade Anzahl von Datenpunkten haben.

Eine berechtigte Frage ist, warum wir das arithmetische Mittel überhaupt betrachten, wenn der Median scheinbar aufgrund seiner Robustheit überlegen ist. Die Gründe hierfür kommen aus der Stochastik. Das arithmetische Mittel ist eng verwandt mit dem Erwartungswert von Zufallsvariablen. Die Normalverteilung kann man vollständig durch den Mittelwert und die Standardabweichung beschreiben. Hieraus folgt, dass das arithmetische Mittel für die Normalverteilung die bestmögliche Schätzung für die Mitte der Daten ist. Trotzdem ist es ratsam, den Median zu verwenden, wenn wir die Verteilung der Daten nicht kennen oder wir befürchten, dass es Ausreißer gibt.

Das arithmetische Mittel und der Median sind nur für numerische Daten definiert. Es gibt jedoch auch nicht numerische Daten. Die Größe von Kleidungsstücken wird häufig in den Kategorien “Small”, “Medium” und “Large” angegeben. Man spricht hierbei von kategorischen Daten (siehe Kapitel 3)). Der Modus der Daten kann benutzt werden, um die Lage von kategorischen Daten zu bestimmen. Der Modus ist definiert als der Wert, den man am häufigsten in einer Stichprobe \(x\) beobachtet.

data = ['small', 'medium', 'small', 'large', 'large', 'medium', 'medium']
print('Daten:', data)
print('Modus:', statistics.mode(data))
Daten: ['small', 'medium', 'small', 'large', 'large', 'medium', 'medium']
Modus: medium

Bitte beachten Sie, dass der Modus zwar gut für kategorische Daten (und manchmal auch für diskret verteilte numerische Daten) geeignet ist, aber irreführend sein kann, wenn die Daten bimodal oder multimodal sind. Derartige Daten setzen sich aus zwei oder mehr Verteilungen zusammen und haben daher mehrere “Mittelpunkte”, was sich dadurch äußert, dass mehrere Werte besonders häufig auftreten. Im Extremfall sind die Kategorien gleichverteilt, sodass es gleich viele Beobachtungen jeder Kategorie gibt. Da dann jede Kategorie die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, ist der Modus zufällig. Außerdem sollte man den Modus nicht für kontinuierliche numerische Daten benutzen, da es hier sehr unwahrscheinlich ist, mehrfach den exakt gleichen Wert zu beobachten.

4.2.2. Variabilität

Die Variabilität misst, wie stark die Daten verstreut sind. Eine kleine Variabilität heißt, dass sich viele Daten in der Nähe der Mitte befinden. Eine hohe Variabilität bedeutet dagegen, dass die Daten sich über einen großen Bereich verteilen.

Das am häufigsten verwendete Maß für die Variabilität ist die Standardabweichung, die als

\[sd(x) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-mean(x))^2}{n-1}}\]

definiert ist. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels von der Abweichung der einzelnen Datenpunkte vom arithmetischen Mittel, nur dass bei der Standardabweichung durch \(n-1\) statt \(n\) geteilt wird. Der Grund hierfür sind die sogenannten Freiheitsgrade, auf die wir hier jedoch nicht näher eingehen. Auch wenn die Formulierung etwas kompliziert klingt, ist das Konzept einfach: Die Standardabweichung misst, wie stark die beobachteten Werte vom arithmetischen Mittel abweichen. Dadurch, dass die quadratischen Abweichungen betrachtet werden, beeinflussen große Abweichungen die Standardabweichung stärker als kleine Abweichungen. Da die Standardabweichung die Variabilität in Bezug auf das arithmetische Mittel misst, ist auch klar, dass die Standardabweichung nur dann benutzt werden sollte, wenn das arithmetische Mittel eine geeignete Repräsentation für die Lage der Daten ist. Hieraus folgt auch, dass die Standardabweichung ebenfalls ein parametrisches Maß für die Variabilität ist.

Ebenso wie es mit dem Median ein nicht parametrisches Gegenstück zum arithmetischen Mittel gibt, gibt es auch nicht parametrische Statistiken für die Variabilität. Der Interquartilsabstand (engl. interquartile range) ist definiert als

\[IQR(X) = Q_{upper}-Q_{lower},\]

wobei \(Q_{upper}\) und \(Q_{lower}\) das obere und untere Quartil der Daten sind. Die Quartile sind analog zum Median definiert, nur mit 75% bzw. 25% der Daten: 75% der Daten sind kleiner oder gleich dem oberen Quartil und 25% der Daten sind kleiner oder gleich dem unteren Quartil. Entsprechend sind mindestens 50% der Daten größer oder gleich dem unteren Quartil und gleichzeitig kleiner oder gleich dem oberen Quartil. Der Interquartilsabstand misst also die Größe des Bereichs, in dem sich die mittleren 50% der Daten befinden.

Eine gute Faustregel ist, dass Sie die Standardabweichung nutzen sollten, wenn Sie das arithmetische Mittel für die Lage verwenden, und den Interquartilsabstand, wenn Sie den Median betrachten. Das folgende Beispiel demonstriert, wie sich die Probleme mit Ausreißern auch in der Standardabweichung (sd) widerspiegeln.

from scipy import stats  # we use scipy for the IQR

data = [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
print('Daten ohne Ausreißer:', data)
print('sd: ', statistics.stdev(data))
print('IQR:', stats.iqr(data))

data.append(100)
print('Daten mit Ausreißer:', data)
print('sd: ', statistics.stdev(data))
print('IQR:', stats.iqr(data))
Daten ohne Ausreißer: [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
sd:  2.031568135925815
IQR: 2.255000000000001
Daten mit Ausreißer: [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68, 100]
sd:  26.77235292350312
IQR: 2.465

Obwohl bis auf einen Datenpunkt alle Daten zwischen 4,26 und 10,84 liegen, ist die Standardabweichung ein Vielfaches von diesem Datenbereich durch den einen Ausreißer. Der Interquartilsabstand ist jedoch, ähnlich wie der Median, kaum beeinflusst.

Wenn die Annahmen an die Standardabweichung erfüllt sind, ist es jedoch ein sehr gutes Maß für die Variabilität der Daten. Ähnlich wie beim arithmetischen Mittel, ist dies insbesondere bei normalverteilten Daten der Fall, die sich durch diese beiden Maße komplett beschreiben lassen. Außerdem kann man für die Normalverteilung beweisen, dass 68% der Daten nicht mehr als eine Standardabweichung vom arithmetischen Mittel entfernt sind, 95% der Daten nicht mehr als zwei Standardabweichungen und 99,7% nicht mehr als drei Standardabweichungen. Dieser Umstand ist auch als 68-95-99,7-Regel bekannt. Für andere Verteilungen kann man ähnliche, wenn auch schwächere Aussagen über die Verteilung mithilfe der Standardabweichung treffen. Die Chebychev-Ungleichung gilt für alle Verteilungen mit einem endlichen Erwartungswert (vereinfacht gesagt mit einem endlichen arithmetischen Mittel) und einer endlichen Varianz, die nicht null ist. Die Varianz ist nichts anderes als das Quadrat der Standardabweichung. Aus der Chebychev-Ungleichung folgt, dass 50% der Daten nicht mehr als \(\sqrt{2} \cdot sd\) vom arithmetischen Mittel entfernt sind. Hierdurch ergibt sich auch ein direkter Zusammenhang zum Interquartilsabstand, der ebenfalls eine Aussage über die mittleren 50% der Daten macht.

Bitte beachten Sie, dass wir uns die Variabilität für kategorische Daten hier nicht im Detail anschauen 2. Die Grundidee ist, dass man betrachtet, wie häufig Daten in den einzelnen Kategorien vorkommen und wie stark diese Beobachtungen einer Gleichverteilung ähneln. Je gleichmäßiger sich die Daten auf die Kategorien verteilen, desto höher die Variabilität.

4.2.3. Datenbereich

Der Datenbereich gibt den Bereich an, in dem Werte beobachtet werden können. Für numerische Daten ist dieser durch das Minimum (den kleinsten möglichen Wert) und das Maximum (den größten möglichen Wert) definiert. Beide kann man anhand einer Stichprobe \(x\) schätzen, in der man den kleinsten und größten beobachteten Wert als \(min\) und \(max\) ermittelt. Die Differenz dieser Werte ist dann die Größe des Datenbereichs:

\[range = max-min.\]

Auch wenn diese statistischen Merkmale auf den ersten Blick trivial erscheinen, sind sie in der Praxis sehr hilfreich, insbesondere um Probleme mit den Daten zu erkennen. Wenn der Datenbereich nicht plausibel ist, stellt man zum Beispiel fest, dass es ungültige Werte gibt. Beobachtet man ein Minimum von -1 bei einem Merkmal, das das Alter in Jahren angibt, könnte dies auf fehlende Werte hindeuten. Bei einem zu hohen Maximum könnte es Fehler beim Übertragen der Daten gegeben haben. Da ungültige Werte nicht notwendigerweise Ausreißer sind, bemerkt man diese unter Umständen nicht, wenn man nur die Lage und die Variabilität von Daten betrachtet.

4.3. Visualisierung

Visualisierungen sind ein sehr mächtiges Werkzeug, um etwas über Daten zu lernen und diese zu verstehen. Hier sehen Sie ein Beispiel von einem Tortendiagramm (die Prozentzahlen sind ausgedacht und haben keine wissenschaftliche Bedeutung).

# we use matplotlib for the creation of visualizations
import matplotlib.pyplot as plt
# this is only required for Jupyter notebooks
%matplotlib inline 

# data to plot
labels = ['Schnelleres Verständnis', 'Bessere Langzeitmemorisierung',
          'Kann Muster zeigen', 'Kann komplexe Informationen vereinfachen',
          'Kann lustige Bilder beinhalten']
sizes = [25, 25, 25, 25, 10]
colors = ['gold', 'yellowgreen', 'lightcoral', 'lightskyblue', 'pink']

# plot
plt.pie(sizes, labels=labels, colors=colors, autopct='%1.1f%%')
plt.show()
../_images/kapitel_04_11_0.png

Es gibt viele Vorteile von Visualisierungen gegenüber anderen Arten, Daten darzustellen, zum Beispiel Tabellen oder deskriptive Statistik. Im Allgemeinen verarbeitet man visuelle Informationen schneller. Hierdurch kann man in der Regel schneller etwas über die Daten lernen. Hinzu kommt, dass viele Menschen sich visualisierte Informationen besser merken können.

Die Vorteile von Visualisierungen gehen jedoch über die Verarbeitungsge-schwindigkeit und die Memorisierung hinaus. Visualisierungen können auch ein Verständnis der Daten ermöglichen, das man andernfalls nicht erlangen würde, zum Beispiel über Muster in Daten und komplexe Zusammenhänge, die man sonst nicht sehen könnte. Hierfür betrachten wir das folgende Beispiel. Alice kennt Bob und Dan, Dan kennt Bob, Bob kennt Carol und Alice, und Carol kennt Alice, Bob und Dan. Diese textuelle Beschreibung ist sehr komplex und schwer zu verstehen. Außerdem bekommt man kein intuitives Verständnis der Beziehung zwischen Alice, Bob, Carol und Dan. Jetzt betrachten wir das Gleiche als gerichteten Graphen:

import networkx as nx  # networkx is a powerful library for working with graphs

# Create the graph by adding edges
# The vertices are implicitly defined through the endpoints of the edges
graph = nx.DiGraph()
graph.add_edge('Alice', 'Bob')
graph.add_edge('Alice', 'Dan')
graph.add_edge('Dan', 'Bob')
graph.add_edge('Bob', 'Carol')
graph.add_edge('Bob', 'Alice')
graph.add_edge('Carol', 'Alice')
graph.add_edge('Carol', 'Bob')
graph.add_edge('Carol', 'Dan')

# Plot the graph with a shell layout
nx.draw_shell(graph, with_labels=True, node_size=2000, node_color='lightblue',
              arrowsize=20, connectionstyle='arc3, rad = 0.1')
../_images/kapitel_04_13_0.png

Dieser Graph ist einfach zu lesen und gibt uns ein intuitives Verständnis der Beziehungen.

Bitte beachten Sie, dass wir bei allen Grafiken in diesem Kapitel Legenden und andere Details bewusst weglassen. Stattdessen generieren wir die Grafiken mit möglichst wenig Quelltext, sodass sie trotzdem die gewünschten Erkenntnisse liefern. Der Grund hierfür ist, dass wir hier Visualisierungen als Werkzeug zur Erkundung von Daten betrachten. Wenn man ansonsten Visualisierungen für Texte (Bücher und sonstige Publikationen) oder Präsentationen erstellt, sind andere Aspekte ebenfalls relevant, zum Beispiel die konsistente Beschriftung, Farbwahl, Legenden und Titel.

4.3.1. Anscombes Quartett

Anscombes Quartett ist ein berühmtes Beispiel für Daten, in dem deskriptive Statistiken irreführend sind. Das Beispiel basiert auf vier Datensätzen \((x_1, y_1), ..., (x_4, y_4)\) mit je elf Paaren aus zwei Variablen \(x_i\) und \(y_i\), \(i=1, ..., 4\). Table 4.1 zeigt die Werte für jedes der Paare.

Table 4.1 Anscombes Quartett

\(x_{1,2,3}\)

\(y_1\)

\(y_2\)

\(y_3\)

\(x_4\)

\(y_4\)

10

8.04

9.14

7.46

8

6.58

8

6.95

8.14

6.77

8

5.76

13

7.58

8.74

12.74

8

7.71

9

8.81

8.77

7.11

8

8.84

11

8.33

9.26

7.81

8

8.47

14

9.96

8.10

8.84

8

7.04

6

7.24

6.13

6.08

8

5.25

4

4.26

3.10

5.39

19

12.50

12

10.84

9.13

8.15

8

5.56

7

4.82

7.26

6.42

8

7.91

5

5.68

4.74

5.73

8

6.89

Wenn wir das arithmetische Mittel und die Standardabweichung betrachten, sehen wir, dass die Werte für alle \(x_i\) und für alle \(y_i\) gleich sind.

import numpy as np  # we now also need numpy, the commonly used numerics library for Python

x = np.array([10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5]) # same for x1, x2, and x3
y1 = np.array([8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96,
               7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68])
y2 = np.array([9.14, 8.14, 8.74, 8.77, 9.26,
               8.10, 6.13, 3.10, 9.13, 7.26, 4.74])
y3 = np.array([7.46, 6.77, 12.74, 7.11, 7.81,
               8.84, 6.08, 5.39, 8.15, 6.42, 5.73])
x4 = np.array([8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 19, 8, 8, 8])
y4 = np.array([6.58, 5.76, 7.71, 8.84, 8.47, 7.04,
               5.25, 12.50, 5.56, 7.91, 6.89])

print('Arithmetisches Mittel')
print('x1, x2, x3 = ', statistics.mean(x))
print('x4         = ', statistics.mean(x4))
print('y1         = ', statistics.mean(y1))
print('y1         = ', statistics.mean(y2))
print('y1         = ', statistics.mean(y3))
print('y1         = ', statistics.mean(y4))

print('Standardabweichung')
print('x1, x2, x3 = ', statistics.stdev(x))
print('x4         = ', statistics.stdev(x4))
print('y1         = ', statistics.stdev(y1))
print('y1         = ', statistics.stdev(y2))
print('y1         = ', statistics.stdev(y3))
print('y1         = ', statistics.stdev(y4))
Arithmetisches Mittel
x1, x2, x3 =  9
x4         =  9
y1         =  7.500909090909091
y1         =  7.500909090909091
y1         =  7.5
y1         =  7.500909090909091
Standardabweichung
x1, x2, x3 =  3.3166247903554
x4         =  3.3166247903554
y1         =  2.031568135925815
y1         =  2.0316567355016177
y1         =  2.030423601123667
y1         =  2.0305785113876023

Es gibt sogar noch mehr Gemeinsamkeiten. Wenn wir eine lineare Regression von \(y_i\) durch \(x_i\) bestimmen würden (siehe Kapitel 8), würden wir jedes Mal die gleiche Regressionsgerade \(y=3+0,5\cdot x\) finden. Statistisch sind sich diese vier Datensätze also sehr ähnlich. Wenn wir uns die Daten mit einem einfachen Scatterplot visualisieren, sehen wir, dass die Datensätze eigentlich sehr unterschiedlich sind.

xfit = np.array([4, 20])
yfit = 3+0.5*xfit

f, axes = plt.subplots(2, 2, sharey=True, sharex=True)
axes[0, 0].plot(x, y1, color='darkorange', marker='.', linestyle='none')
axes[0, 0].plot(xfit, yfit, color='navy', lw=1)
axes[0, 0].set_title('$x_1, y_1$')
axes[0, 1].plot(x, y2, color='darkorange', marker='.', linestyle='none')
axes[0, 1].plot(xfit, yfit, color='navy', lw=1)
axes[0, 1].set_title('$x_2, y_2$')
axes[1, 0].plot(x, y3, color='darkorange', marker='.', linestyle='none')
axes[1, 0].plot(xfit, yfit, color='navy', lw=1)
axes[1, 0].set_title('$x_3, y_3$')
axes[1, 1].plot(x4, y4, color='darkorange', marker='.', linestyle='none')
axes[1, 1].plot(xfit, yfit, color='navy', lw=1)
axes[1, 1].set_title('$x_4, y_4$')
plt.show()
../_images/kapitel_04_17_0.png

Die orangen Punkte visualisieren die Daten selbst, die blauen Linien zeigen die Regressionsgerade für \(y=3+0,5\cdot x\), die optimal ist für die Daten. Nur auf Basis der statistischen Informationen über die Daten würde man erwarten, dass die Daten ungefähr so wie beim Paar \(x_1\), \(y_1\) aussehen: Die Daten haben in etwa eine lineare Beziehung mit einer leichten Streuung ohne ein klar erkennbares Muster um die Regressionsgerade. Eine lineare Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) bedeutet, dass wenn \(x\) sich verändert, sich \(y\) um ein konstantes Vielfaches von \(x\) verändert. Das bedeutet umgekehrt auch, dass man die Beziehung von \(x\) und \(y\) sich etwa als Gerade vorstellen kann. Beim Paar \(x_2\), \(y_2\) ist dies nicht der Fall, stattdessen sehen die Daten eher aus wie eine auf den Kopf gestellte Parabel. Das Paar \(x_3\), \(y_3\) ist eigentlich perfekt linear, bis auf einen einzelnen Datenpunkt, der nach oben ausreißt und dafür sorgt, dass die blaue Regressionsgerade nicht zur eigentlichen Geraden, auf der die Daten liegen, passt. Das Paar \(x_4\), \(y_4\) passt nicht zu dem, was die Statistiken aussagen, die auch wieder von einem Ausreißer stark beeinflusst werden.

Die Aussage von Anscombes Quartett ist somit eindeutig: Auch wenn Statisti-ken gut geeignet sein können, Daten zusammenzufassen, ist es ebenso möglich, dass die Statistiken irreführend sind. Die kritische Leserin oder der aufmerksame Leser wird vielleicht bemerkt haben, dass die durch Ausreißer verursachten Probleme beim arithmetischen Mittel und der Standardabweichung zu erwarten sind. Die Probleme von Statistiken sind jedoch grundlegender und es gibt weitere Beispiele, die auch mehr statistische Marker berücksichtigen 3.

4.3.2. Einzelne Merkmale

Eine grundlegende Betrachtung der Daten besteht in der Visualisierung einzelner Merkmale der Daten. Hierdurch kann man die Verteilung dieser Merkmale verstehen, ähnlich zur Beschreibung durch Statistiken. Hierzu schauen wir uns Histogramme, Densityplots, Rugs und Boxplots an.

Wir betrachten dieses Feature anhand von Daten über Hauspreise aus Boston, die 1978 veröffentlicht wurden, die wir im Folgenden einfach als Bostondaten bezeichnen werden.

# sklearn is a large machine learning library that we use
from sklearn import datasets
from textwrap import TextWrapper

# we use this wrapper to avoid printing lines that are too long because this should be readable as a book
# usually you would still just use print
wrapper = TextWrapper(width=65, replace_whitespace=False, break_long_words=False)
def wrap_print(string):
    for line in string.split('\n'):
        print('\n'.join(wrapper.wrap(line)))

boston = datasets.fetch_openml(data_id=531)
wrap_print(boston.DESCR)
**Author**:
**Source**: Unknown - Date unknown
**Please cite**:

The Boston house-price data of Harrison, D. and Rubinfeld, D.L.
'Hedonic
prices and the demand for clean air', J. Environ. Economics &
Management,
vol.5, 81-102, 1978.   Used in Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression
diagnostics
...', Wiley, 1980.   N.B. Various transformations are used in the
table on
pages 244-261 of the latter.
Variables in order:
CRIM     per capita crime rate by town
ZN       proportion of residential land zoned for lots over
25,000 sq.ft.
INDUS    proportion of non-retail business acres per town
CHAS     Charles River dummy variable (= 1 if tract bounds river;
0 otherwise)
NOX      nitric oxides concentration (parts per 10 million)
RM       average number of rooms per dwelling
AGE      proportion of owner-occupied units built prior to 1940
DIS      weighted distances to five Boston employment centres
RAD      index of accessibility to radial highways
TAX      full-value property-tax rate per $10,000
PTRATIO  pupil-teacher ratio by town
B        1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of blacks
by town
LSTAT    % lower status of the population
MEDV     Median value of owner-occupied homes in $1000's


Information about the dataset
CLASSTYPE: numeric
CLASSINDEX: last

Downloaded from openml.org.

Die obige Beschreibung ist ein Beispiel für Metadaten, in diesem Fall die Dokumentation der Daten.

Bemerkung:

Die Bostondaten werden immer häufiger kritisiert und wurden zum Beispiel auch als Beispieldatensatz aus scikit-learn entfernt. Der Grund hierfür ist, dass die Daten aus ethischer Sicht hochproblematisch sind: Die Daten sind teilweise rassistisch, insbesondere das Merkmal B. In diesem Buch verwenden wir diese Daten dennoch weiter und nutzen den Datensatz, um nicht nur zu zeigen, wie man Daten analysieren kann, sondern auch als Beispiel, dass man ethische Aspekte von Daten und Modellen niemals vergessen sollte.

Wir werfen jetzt einen genaueren Blick auf das Merkmal MEDV, den Median des Werts der Eigenheime in 1000 Dollar. Histogramme sind eine einfache und oft effektive Art, etwas über die Verteilung von Daten zu lernen.

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(boston.target, bins=50)
ax.set_xlabel('Wert in 1000 $')
ax.set_ylabel('Häufigkeit')
plt.show()
../_images/kapitel_04_21_0.png

Das Histogramm zeigt, wie häufig Werte vorkommen. Hierfür wird der Wertebereich in sogenannte Bins unterteilt. Das Begriff Bin ist vom englischen Wort für Gruppieren abgeleitet. Das Histogramm gibt an, wie viele Datenpunkte in jedem Bin liegen. Im obigen Beispiel haben wir 50 Bins. Das Histogramm verrät uns viel über die Daten.

  • Die Daten zwischen 0 und 30 scheinen normalverteilt zu sein. Dies erkennt man daran, dass die Daten ungefähr eine Glockenform (engl. bell-shape) bilden, was für die Normalverteilung typisch ist. Der Mittelwert dieser Normalverteilung liegt ca. bei 22. Dies erkennt man am Peak in diesem Wertebereich. Die Standardabweichung kann man nicht genau ablesen, aber mithilfe der oben diskutier-ten 68-95-99-Regel grob abschätzen. Der Wert sollte sich zwischen 7 und 11 befinden.

  • Neben dieser Normalverteilung gibt es noch viele Werte am rechten Rand der Grafik, also bei genau 50. Dies deutet darauf hin, dass es in Wirklichkeit vermutlich auch noch Werte oberhalb von 50 gibt, diese aber zusammengefasst wurden. Die eigentliche Bedeutung des Werts 50 sind somit nicht Häuser mit einem Wert von 50.000 Dollar, sondern Häuser, die mindestens 50.000 Dollar wert sind.

  • Es gibt einen Tail auf der rechten Seite des Grafik, also Häuser, die teuer sind. Diese Häuser kommen zwar vor, lassen sich aber nicht mehr durch die Normalverteilung erklären. Solche Daten nennt man auch Rechtsschief (engl. right skew).

Wir können uns MEDV auch mithilfe von einem Densityplot anschauen.

import seaborn as sns  # seaborn is a visualization library build on top of matplotlib

fig, ax = plt.subplots()
sns.kdeplot(boston.target, ax=ax)
ax.set_xlabel('Wert in 1000 $')
ax.set_ylabel('Dichte')
plt.show()
../_images/kapitel_04_23_0.png

Vereinfacht gesagt, zeigen Densityplots eine Schätzung der Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daten. Wir können uns das als eine Art kontinuierliches Histogramm vorstellen. Der Vorteil von Densityplots gegenüber Histogrammen ist, dass es oft einfacher ist, die Verteilung der Daten zu erkennen. Im obigen Beispiel treten die Glockenform und die Position des Peaks deutlicher hervor und man kann dadurch die Normalverteilung in der linken Hälfte des Plots besser erkennen. Densityplots haben jedoch auch einige Nachteile im Vergleich zu Histogrammen. Ein kleiner Nachteil ist, dass es schwierig ist, die Werte der y-Achse zu interpretieren. Während ein Histogramm eine klare Aussage über die Anzahl der Datenpunkte in einem Bin erlaubt, sieht man im Densityplot lediglich die Dichte als Wert zwischen 0,0 und 1,0. Die Dichte ist mehr oder weniger der Anteil der Daten, der an einem bestimmten Punkt auf der x-Achse zu erwarten ist.

Der zweite Nachteil der Densityplots ist gravierender. Das Histogramm zeigt uns klar die vielen Datenpunkte mit dem Wert 50 und auch, dass es keine Datenpunkte mit einem höheren Wert gibt. Im Densityplot sieht man bei der 50 nur einen kleinen Peak, den man auch als weitere Normalverteilung mit dem Mittelwert 50 am rechten Rand der Daten interpretieren könnte. Das ist irreführend und versteckt die wahre Verteilung der Daten. Dieses Risiko lässt sich bei Densityplots auch nicht vermeiden, da es mit der Technik, wie die Dichte geschätzt wird, zusammenhängt. Solche Fehlinterpretationen der Daten sind dann wahrscheinlich, wenn die Daten nicht sehr dicht verteilt sind (großer Datenbereich mit verhältnismäßig wenig Datenpunkten), sowie an den Grenzen der beobachteten Daten. Hier geht die geschätzte Dichtefunktion automatisch über den beobachteten Datenbereich hinaus, was eventuell aber der Interpretation eines Merkmals widerspricht. Man erkennt im obigen Plot zum Beispiel auch, dass die Werte kleiner 0 nicht eine Dichte von 0 haben, was bedeuten würde, dass einige Eigenheime einen negativen Wert hätten.

Bemerkung:

Densityplots werden mithilfe von Kernel Density Functions (KDE) erstellt, in der Regel mittels der Dichtefunktion der Normalverteilung. Diese Dichtefunktion wird dann an jedem Datenpunkt mit Skalierungs- und Bandbreitenparametern geschätzt. Anschließend werden alle diese geschätzten Dichtefunktionen aufaddiert, um den Densityplot zu erstellen. Hierdurch kann man auch das Verhalten an den Grenzen erklären: Die Dichtefunktion, die an den äußersten Punkten der Daten geschätzt wird, geht aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung automatisch über den Datenbereich hinaus. Die Skalierung der Schätzung führt dazu, dass ein seltsames Verhalten, wie viele gleiche Werte an einer Grenze in der aufsummierten Dichtefunktion, nicht stark auffällt.

Ein einfaches Mittel, dieses Problem zu vermeiden, besteht darin, einen Rug (dt. Teppich) anzuzeigen. Der Rug hat seinem Namen daher, weil er wie ein Teppich unter den Plot gelegt wird.

fig, ax = plt.subplots()
sns.kdeplot(boston.target, ax=ax)
sns.rugplot(boston.target, ax=ax)
ax.set_xlabel('Wert in 1000 $')
ax.set_ylabel('Dichte')
plt.show()
../_images/kapitel_04_25_0.png

Der Rug zeigt, wo sich wirklich Datenpunkte befinden. In Kombination mit dem Densityplot können wir also sehen, dass es keine Datenpunkte kleiner als 5 oder größer 50 gibt. Wir erkennen auch, dass die Region zwischen 38 und 50 nur relativ dünn besiedelt ist, wobei die Punkte in diesem Bereich etwa gleichverteilt zu sein scheinen. Hierzu passt, dass der Densityplot in diesem Bereich fast parallel zur x-Achse verläuft. Dies zeigt, dass der Rug hilfreich ist, um weitere Erkenntnisse über die Daten zu gewinnen und Fehlinterpretationen zu vermeiden.

Man kann auch einfach alle oben betrachteten Ansätze kombinieren und Histogramm, Densityplot und Rug zusammen visualisieren.

fig, ax = plt.subplots()
# stat='density' scales the plot to match the y-axis of the density plot
# alpha=0.2 makes the bars transparent for better readability
sns.histplot(boston.target, stat='density', alpha=0.2, bins=50, ax=ax)
sns.kdeplot(boston.target, ax=ax)
sns.rugplot(boston.target, ax=ax)
ax.set_xlabel('Wert in 1000 $')
ax.set_ylabel('Dichte')
plt.show()
../_images/kapitel_04_27_0.png

In diesem Plot können wir sehen, wo es Datenpunkte gibt (Rug), wie viele Daten in jedem Bereich liegen (Bins), und bekommen außerdem noch eine Schätzung der Dichtefunktion (Densityplot). Wir kombinieren also alle Vorteile von Histogrammen und Densityplots. Lediglich das Problem der Interpretation der y-Achse der Densityplots bleibt, wir können also nicht ablesen, wie viele Datenpunkte genau in einem Bin liegen. Falls dies relevant ist, muss man auf ein reines Histogramm zurückgreifen.

Das Merkmal MEDV verhält sich aus statistischer Sicht relativ gut: Es ist großteils normalverteilt, wenn auch etwas rechtsschief. Außerdem gibt es noch eine Gruppierung aller Werte, die größer sind als 50. Dies kann unter Umständen später zu Problemen führen und sollte berücksichtigt werden. Jetzt schauen wir uns ein zweites Merkmal an, bei dem es nicht ganz so einfach ist. CRIM ist in den Bostondaten definiert als die Kriminalitätsrate in einer Gegend.

fig, ax = plt.subplots()
sns.histplot(boston.data['CRIM'], stat='density', alpha=0.2, bins=50, ax=ax)
sns.kdeplot(boston.data['CRIM'], ax=ax)
sns.rugplot(boston.data['CRIM'], ax=ax)
ax.set_xlabel('Kriminalitätsrate')
ax.set_ylabel('Dichte')
plt.show()
../_images/kapitel_04_29_0.png

Der Plot zeigt, dass die meisten Daten sehr nah bei null liegen, der Datenbereich bis ca. 15 jedoch insgesamt sehr dicht besiedelt ist. Bei höheren Werten scheint es sich eher um Ausreißer zu handeln. Da die Daten nahe null so dicht sind, ist es sehr schwer, mehr zu erkennen. Bei solchen Daten könnte es sich um exponentiell verteilte Daten handeln. Daher sollte man einen einfachen Trick ausprobieren und den Logarithmus der Daten betrachten. Wir betrachten also nicht die Daten \(x\) direkt, sondern stattdessen \(\log(x+1)\). Die Addition von eins ist ein Glättungsparameter, der auch als Laplace Glättung bekannt ist. Durch diesen Glättungsfaktor vermeiden wir das Problem, dass der Logarithmus von 0 undefiniert ist. Da \(\log(1)=0\), ist insbesondere auch \(\log(0+1)=0\), was bedeutet, dass sich der Nullpunkt der Daten nicht verschiebt.

Der Plot zeigt, dass die meisten Daten sehr nah bei null liegen, der Datenbereich bis ca. 15 jedoch insgesamt sehr dicht Besiedelt ist. Bei höheren Werten scheint es sich eher im Ausreißer zu handeln. Da die Daten nahe null so dicht sind, ist es sehr schwer mehr zu erkennen. Bei solchen Daten könnte es sich um exponentiell verteilte Daten handeln. Daher sollte an einen einfachen Trick ausprobieren und den Logarithmus der Daten betrachten. Wir betrachten also nicht die Daten \(x\) direkt, sondern stattdessen \(\log(x+1)\). Die Addition von eins ist ein Glättungsparameter der auch als Laplace Smoothing bekannt ist. Durch diesen Glättungsfaktor vermeiden wir das Problem, dass der Logarithmus von 0 undefiniert ist. Da \(\log(1)=0\) ist insbesondere auch \(\log(0+1)=0\), was bedeutet das sich der Nullpunkt der Daten nicht verschiebt.

Bemerkung:

Laplace Glättung ist sogar etwas generischer als die einfache Addition von eins. Im Allgemeinen kann jede beliebige Konstante addiert werden. Die obige Variante wird daher auch oft als Add-One Glättung bezeichnet. Diese Art der Glättung des Logarithmus ist so verbreitet, dass die Bibliothek numpy sogar extra die Funktion log1p sowie auch die Umkehrfunktion exp1m zur Verfügung stellt.

Betrachten wir jetzt also den Logarithmus der Kriminalitätsrate.

fig, ax = plt.subplots()
sns.histplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), stat='density', alpha=0.2, bins=50, ax=ax)
sns.kdeplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), ax=ax)
sns.rugplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), ax=ax)
ax.set_xlabel('log(Kriminalitätsrate+1)')
ax.set_ylabel('Dichte')
plt.show()
../_images/kapitel_04_31_0.png

In diesem Plot erkennt man schon mehr Informationen über die Kriminalitätsrate:

  • Etwa 80% der Gegenden sind nahezu ohne Kriminalität. Dass viele Daten nah bei null liegen, konnte man zwar bereits ohne den Logarithmus erkennen, aber den Anteil der Daten kann man jetzt klarer sehen. Man erkennt auch, dass die Kriminalitätsrate zwischen null und eins nahezu monoton abfällt, so dass dieser Teil der Daten in etwa wie die rechte Hälfte der Glockenform einer Normalverteilung aussieht.

  • Die restlichen 20% der Daten ab ca. dem Wert eins scheinen einer Lognormal-Verteilung zu folgen. Man nennt eine Verteilung lognormal, wenn die Daten normalverteilt sind, nachdem man sie logarithmiert hat. Dies scheint hier der Fall zu sein, wie man an der sehr flachen Glockenform in der Mitte des Plots erkennt. Der Mittelwert scheint bei ca. 2,2 zu liegen und die Standardabweichung scheint relativ groß zu sein, weshalb die Daten weit streuen. Bitte beachten Sie, dass der Mittelwert von 2,2 für die logarithmierten Kriminalitätsraten gilt, das heißt, wir müssen erst die Umkehrung des Logarithmus berechnen, um den eigentlichen Wert zu ermitteln. Dadurch finden wir heraus, dass der lognormale Abschnitt der Daten bei einer Kriminalitätsrate von etwa \(e^1-1 \approx 1,7\) beginnt, mit einem Mittel bei ca. \(e^{2,2}-1 \approx 8,0\).

Um unsere Einschätzung, dass der hintere Teil der Daten lognormal ist, zu überprüfen, können wir uns diese Daten auch noch einmal genauer anschauen, indem wir den Anzeigebereich einschränken und hierdurch den hinteren Bereich in der Anzeige vergrößern.

fig, ax = plt.subplots()
sns.histplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), stat='density', alpha=0.2, bins=50, ax=ax)
sns.kdeplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), ax=ax)
sns.rugplot(np.log1p(boston.data['CRIM']), ax=ax)
ax.set_xlabel('log(Kriminalitätsrate+1)')
ax.set_ylabel('Dichte')
ax.set_xlim(1,5)
ax.set_ylim(0,0.3)
plt.show()
../_images/kapitel_04_33_0.png

Wie man sieht wird, die Einschätzung hierdurch bestätigt.

Für die nächsten Beispiele nutzen wir einen anderen Datensatz, nämlich die Irisdaten.

from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
wrap_print(iris.DESCR)
.. _iris_dataset:

Iris plants dataset
--------------------

**Data Set Characteristics:**

    :Number of Instances: 150 (50 in each of three classes)
    :Number of Attributes: 4 numeric, predictive attributes and
the class
    :Attribute Information:
        - sepal length in cm
        - sepal width in cm
        - petal length in cm
        - petal width in cm
        - class:
                - Iris-Setosa
                - Iris-Versicolour
                - Iris-Virginica

    :Summary Statistics:

    ============== ==== ==== ======= ===== ====================
                    Min  Max   Mean    SD   Class Correlation
    ============== ==== ==== ======= ===== ====================
    sepal length:   4.3  7.9   5.84   0.83    0.7826
    sepal width:    2.0  4.4   3.05   0.43   -0.4194
    petal length:   1.0  6.9   3.76   1.76    0.9490  (high!)
    petal width:    0.1  2.5   1.20   0.76    0.9565  (high!)
    ============== ==== ==== ======= ===== ====================

    :Missing Attribute Values: None
    :Class Distribution: 33.3% for each of 3 classes.
    :Creator: R.A. Fisher
    :Donor: Michael Marshall (MARSHALL%PLU@io.arc.nasa.gov)
    :Date: July, 1988

The famous Iris database, first used by Sir R.A. Fisher. The
dataset is taken
from Fisher's paper. Note that it's the same as in R, but not as
in the UCI
Machine Learning Repository, which has two wrong data points.

This is perhaps the best known database to be found in the
pattern recognition literature.  Fisher's paper is a classic in
the field and
is referenced frequently to this day.  (See Duda & Hart, for
example.)  The
data set contains 3 classes of 50 instances each, where each
class refers to a
type of iris plant.  One class is linearly separable from the
other 2; the
latter are NOT linearly separable from each other.

.. topic:: References

   - Fisher, R.A. "The use of multiple measurements in taxonomic
problems"
     Annual Eugenics, 7, Part II, 179-188 (1936); also in
"Contributions to
     Mathematical Statistics" (John Wiley, NY, 1950).
   - Duda, R.O., & Hart, P.E. (1973) Pattern Classification and
Scene Analysis.
     (Q327.D83) John Wiley & Sons.  ISBN 0-471-22361-1.  See page
218.
   - Dasarathy, B.V. (1980) "Nosing Around the Neighborhood: A
New System
     Structure and Classification Rule for Recognition in
Partially Exposed
     Environments".  IEEE Transactions on Pattern Analysis and
Machine
     Intelligence, Vol. PAMI-2, No. 1, 67-71.
   - Gates, G.W. (1972) "The Reduced Nearest Neighbor Rule".
IEEE Transactions
     on Information Theory, May 1972, 431-433.
   - See also: 1988 MLC Proceedings, 54-64.  Cheeseman et al"s
AUTOCLASS II
     conceptual clustering system finds 3 classes in the data.
   - Many, many more ...

Oben sehen wir die Beschreibung der Irisdaten. Es handelt sich um einen Datensatz über drei verschiedene Arten der Blume Iris (Setosa, Versicolour, Virginica) mit jeweils vier Merkmalen. Diese Merkmale sind die Länge und Breite der Blütenblätter (engl. sepal) und der Kelchblätter (engl. petal).

Boxplots sind eine weitere Möglichkeit, wie wir einzelne Merkmale, aber auch mehrere Merkmale gleichzeitig visualisieren können.

import pandas as pd  # pandas is a powerful library for working with data

# we need that data as dataframe for the pairplot feature of seaborn
iris_df = pd.DataFrame(iris.data, columns=[
    'Blütenblattlänge', 'Blütenblattbreite', 'Kelchblattlänge', 'Kelchblattbreite'])

fig, ax = plt.subplots()
sns.boxplot(data=iris_df, orient='h')
ax.set_xlabel('cm')
plt.show()
../_images/kapitel_04_37_0.png

Ein Boxplot besteht aus einer Box, die an jeder Seite noch eine Linie hat, die sogenannten Whisker. Daher sind diese Plots auch als Box-Whisker-Plots bekannt. Die Grenzen der Box sind durch das untere Quartil \(Q_{lower}\) und das obere Quartil \(Q_{upper}\) bestimmt. Daraus folgt, dass die Länge der Box der Interquartilsabstand ist. In der Box sieht man noch eine Linie. Diese Linie markiert den Median der Daten. Die Definition der Whisker ist etwas komplizierter. Das Ende der linken Linie ist der kleinste beobachtete Datenpunkt, der maximal das 1,5-Fache des Interquartilsabstands vom unteren Quartil entfernt ist, also \(\min \{x_i: x_i>Q_{lower}-1,5\cdot IQR, i=1, ..., n\}\). Analog ist das Ende der rechten Linie der größte beobachtete Datenpunkt, der maximal das 1,5-Fache des Interquartils-abstands vom oberen Quartil entfernt ist, also \(\max \{x_i: x_i>Q_{upper}+1,5\cdot IQR, i=1, ..., n\}\). Die Idee der Whisker ist es, den Datenbereich ohne Ausreißer darzustellen. Entsprechend ist jeder Wert, der mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands von den Quartilen entfernt ist, ein Ausreißer. Sollte es Ausreißer geben, werden diese als Punkte dargestellt, wie man sie zum Beispiel bei der Blütenblattbreite sieht.

Im Endeffekt ist ein Boxplot also nur eine Visualisierung von nicht parametrischen deskriptiven Statistiken und von Ausreißern. Dennoch kann man mit Boxplots auf einen Blick viel über die Daten lernen:

  • Die Lage der Boxen zeigt den Bereich an, in dem sich der Großteil der Daten befindet.

  • Die Größe der Boxen zeigt, wie stark der mittlere Bereich gestreut ist.

  • Die Länge der Whisker zeigt den Datenbereich (ohne Ausreißer).

  • Es werden die Existenz, die Anzahl und die Lage von Ausreißern dargestellt. Hierdurch erkennt man insbesondere auch, ob Ausreißer sich in der Nähe der Whisker befinden oder weit von den Daten entfernt liegen.

  • Die Lage des Medians sowie die Länge der Whisker geben darüber Auskunft, ob die Daten möglicherweise symmetrisch sein könnten. Dies erkennt man, indem man überprüft, ob der Median etwa in der Mitte der Box liegt und die Whisker gleich lang sind.

Über die Irisdaten können wir zum Beispiel folgendes lernen:

  • Die Merkmale haben nicht den gleichen Datenbereich. Der Datenbereich der Kelchblattlänge ist mehr als doppelt so groß wie der Bereich der Kelch- und Blütenblattbreite und ebenfalls deutlich größer als der Datenbereich der Blütenblattlänge.

  • Es gibt nur wenige Ausreißer in den Daten. Nur bei der Blütenblattbreite gibt es einige Ausreißer. Diese liegen aber sehr nah an den Whiskern. Außerdem ist der Interquartilsabstand sehr klein, wodurch natürlich auch das 1,5-Fache des Interquartilsabstands sehr klein ist. Es handelt sich bei diesen Ausreißern daher nicht um nicht plausibel große Datenpunkte, sondern vielmehr um ein Artefakt infolge der Strategie, wie die Ausreißer bestimmt werden.

Wie man sieht, ist die Art der Informationen anders als bei Histogrammen und Densityplots. Histogramme und Densityplots sind gut geeignet, um die Verteilung von Daten zu verstehen und ein sehr detailliertes Bild der Daten zu bekommen. Bei Boxplots liegt der Fokus auf allgemeinen statistischen Eigenschaften der Daten. Mithilfe eines Boxplots kann man schnell statistische Merkmale der Verteilungen von mehreren Merkmalen erfassen und miteinander vergleichen.

4.3.3. Beziehungen zwischen Merkmalen

Bisher haben wir Merkmale nur unabhängig voneinander visualisiert. Bei den Boxplots haben wir zwar bereits Boxen für mehrere Merkmale in einer Visualisierung angezeigt, die Boxen haben sich jedoch nur auf ein einzelnes Merkmal bezogen. Man kann zu einem gewissen Grad die Beziehung zwischen einem kategorischen Merkmal und numerischen Merkmalen mithilfe von Boxplots darstellen. Wir können zum Beispiel die Kelchblattlänge für die verschiedenen Arten der Iris darstellen.

fig, ax = plt.subplots()
sns.boxplot(x=iris_df['Kelchblattlänge'], y=iris.target, orient='h', ax=ax)
ax.set_title('Boxplots der Kelchblattlänge für jede Art')
ax.set_xlabel('Kelchblattlänge in cm')
ax.set_yticks((0,1,2))
ax.set_yticklabels(('Setosa', 'Versicolour', 'Virginica'))
plt.show()
../_images/kapitel_04_39_0.png

Aus diesem Boxplot können wir viel über die Beziehung der Kelchblattlänge zu den Arten der Iris lernen.

  • Die Kelchblattlänge von Setosa ist immer kleiner als 2,5 cm. Die anderen Arten haben immer eine Kelchblattlänger, die größer als 2,5 cm ist.

  • Die Virginica hat immer eine Kelchblattlänge größer als 4,3 cm. Aus diesen beiden Beobachtungen folgt, dass alle Iris mit einer Kelchblattlänge zwischen 2,5 cm und 4,3 cm Versicolours sein müssen.

  • Die Kelchblattlänge der Versicolour ist immer kleiner als 5,1 cm. Daraus folgt also, dass alle Iris mit einer Kelchblattlänge größer als 5,1 cm Virginica sein müssen.

  • Iris mit einer Kelchblattlänge zwischen 4,3 cm und 5,1 cm könnten sowohl Versicolour als auch Virginica sein.

Der Nachteil von Boxplots ist, dass man Merkmale nur anhand von wenigen statistischen Eigenschaften vergleichen kann. Außerdem sind die Vergleiche beschränkt, da man nur ein kategorisches mit einem numerischen Merkmal vergleichen kann. Außerdem sollte das kategorische Merkmal nicht zu viele Kategorien haben, da es sonst sehr viele Boxen geben würde.

Eine weitere Möglichkeit, sich Beziehungen zwischen Merkmalen anzuschauen, sind paarweise Scatterplots.

sns.pairplot(iris_df, kind='reg')
plt.show()
../_images/kapitel_04_41_0.png

In einem paarweisen Scatterplot hat man nicht nur einen einzigen Plot, sondern eine Sammlung von Plots, die als Matrix organisiert sind. Auf der Diagonale findet man die Histogramme der Merkmale. Die anderen Plots zeigen die paarweisen Beziehungen zwischen je zwei Merkmalen. Die Geraden geben den linearen Zusammenhang zwischen den Daten wieder, wie wir es schon von Anscombes Quartett kennen. Die Schattierung um die Geraden zeigt zusätzlich noch die Unsicherheit dieses Zusammenhangs an. Je näher die Datenpunkte an den Geraden liegen, desto kleiner ist die Unsicherheit und desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass es tatsächlich einen linearen Zusammenhang gibt. Wenn die Steigung der Geraden negativ ist (abwärts), dann ist die Korrelation zwischen den Merkmalen negativ. Wenn die Steigung positiv ist, dann ist Korrelation zwischen den Merkmalen positiv. Die Werte welcher Merkmale auf der x-Achse bzw. y-Achse aufgetragen sind, kann man am unteren bzw. linken Rand des Plots erkennen. Der zweite Plot in der ersten Zeile zeigt zum Beispiel die Beziehung zwischen der Blütenblattbreite auf der x-Achse und der Blütenblattlänge auf der y-Achse.

Ein paarweiser Scatterplot ermöglicht es uns, viel über die Beziehungen zwi-schen Merkmalen zu lernen, aber auch über einzelne Merkmale über die Histogramme auf der Diagonale.

  • Die Blütenblattbreite scheint normalverteilt zu sein, die Kelchblattbreite sieht eher wie ein Mix von zwei Normalverteilungen aus.

  • Die Beziehung zwischen der Blütenblattbreite und der Blütenblattlänge sieht zufällig aus. Dies erkennt man daran, dass sich die Punkte über die komplette Fläche des Plots verteilen.

  • Die Kelchblattbreite hat eine positive Korrelation mit der Kelchblattlänge. Dies bedeutet, dass wenn sich die Länge erhöht, sich die Breite ebenfalls erhöht und umgekehrt. Diese Korrelation scheint linear zu sein, was man daran erkennt, dass alle Datenpunkte sehr nah an der Regressionslinie liegen. Es gibt also ein festes Verhältnis zwischen der Kelchblattbreite und Kelchblattlänge.

  • Man kann in den Plots der Kelchblätter zwei Gruppen in den Daten erkennen: eine kleinere Gruppe mit niedrigen Werten und eine größere Gruppe mit höheren Werten. Zwischen den Gruppen ist eine größere Lücke. Ähnliche Gruppen findet man in nahezu allen Plots, wenn auch nicht so eindeutig.

Bemerkung:

Wir betrachten das Konzept der Korrelation hier nicht im Detail. Die Idee ist aber relativ einfach: Man nennt zwei Merkmale X und Y positiv korreliert, wenn bei steigendem Wert von X in der Regel auch der Wert von Y steigt. Je häufiger dies der Fall ist, desto stärker ist die Korrelation. Umgekehrt nennt man eine Korrelation negativ, wenn bei fallendem Wert von X in der Regel auch der Wert von Y fällt. Eine lineare Korrelation bedeutet zusätzlich noch, dass es ein Muster gibt, sodass \(X \approx a+b \cdot Y\) für zwei Konstanten \(a, b \in \mathbb{R}\). Die Korrelation wird häufig mithilfe von Korrelationskoeffizienten gemessen, deren Werte zwischen liegen. Ein Korrelationskoeffizient von 0 bedeutet, dass zwei Merkmale nicht korreliert sind. Je näher die Werte an -1/1 sind, desto stärker ist die negative/positive Korrelation.

Für kategorische Variablen wie die Art der Iris kann man noch weitere Informationen aus einem paarweisen Scatterplot holen, indem man die Kategorien als Farben nutzt. Zusätzlich kann man dann auch noch Densityplots pro Kategorie auf der Diagonale anzeigen.

iris_df['Art'] = iris.target
iris_df.loc[iris_df['Art']==0, 'Art'] = 'Setosa'
iris_df.loc[iris_df['Art']==1, 'Art'] = 'Versicolour'
iris_df.loc[iris_df['Art']==2, 'Art'] = 'Virginica'
sns.pairplot(iris_df, hue='Art')
plt.show()
../_images/kapitel_04_43_0.png

Durch die Farben können wir die Bedeutung der Gruppen erkennen, die wir oben schon gesehen haben: Die kleinere Gruppe sind die Setosas, während die größere Gruppe aus den Versicolours und Virginicas besteht. Diese Trennung ist ähnlich zu dem, was wir bereits im Boxplot gesehen haben. Wir erkennen auch, dass man die Arten nur schwer mithilfe der Blütenblätter unterscheiden kann, insbesonde-re nicht zwischen Versicolours und Virginicas. Man sieht aber auch, dass man die drei Arten fast perfekt anhand der Kelchblätter unterscheiden kann.

Ein mögliches Problem von Scatterplots ist, dass man häufig sehr viele Daten-punkte in einem kleinen Bereich hat, sodass sich die Daten überlappen. Man spricht dann auch von einem dichten Bereich. Wenn man solche Daten als Scatterplot darstellt, sieht man häufig nur einen großen Fleck.

np.random.seed(0)
n = 10000
x = np.random.standard_normal(n)
y = 2.0 + 3.0 * x + 4.0 * np.random.standard_normal(n)
xmin = x.min()
xmax = x.max()
ymin = y.min()
ymax = y.max()

plt.figure()
plt.title('Scatterplot von 10000 Datenpunkten')
plt.plot(x, y, marker='.', linestyle='none')
plt.show()
../_images/kapitel_04_45_0.png

Innerhalb der dichten Region kann man die Struktur der Daten nicht erkennen. Im obigen Beispiel könnten die Daten in der Region zum Beispiel gleichverteilt, normalverteilt oder eine Mischung aus mehreren Verteilungen mit unterschiedli-chen Peaks sein. Man verliert also wegen der Dichte wertvolle Informationen über die Daten. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man dieses Problem lösen kann. Eine schnelle und sehr einfache Lösung besteht darin, die Datenpunkte transparent zu machen.

plt.figure()
plt.title('Scatterplot von 10000 transparenten Datenpunkten')
plt.plot(x, y, marker='.', linestyle='none', alpha=0.05)
plt.show()
../_images/kapitel_04_47_0.png

Durch die Transparenz kann man die Struktur erkennen und sieht, dass die Daten normalverteilt sind mit dem Mittelwert im Zentrum der dichten Region. Der Nachteil dieser Lösung ist, dass man immer noch nicht sieht, wie viele Daten genau in einer Region liegen, da es keine Farbskala gibt. Wenn dies ebenfalls wichtig ist, sollte man Hexbinplots verwenden. Hexbinplots sind mehr oder weniger zwei-dimensionale Histogramme: Die Daten sind in sechseckige Bins unterteilt und die Farbe zeigt, wie viele Daten in einer Region liegen.

fig, ax = plt.subplots()
hb = ax.hexbin(x, y, gridsize=50, cmap='binary')
cb = fig.colorbar(hb)
cb.set_label('Anzahl')
ax.set_title("Hexagonales Binning (Hexbin) der Daten")
plt.show()
../_images/kapitel_04_49_0.png

Im Hexbinplot können wir jetzt nicht nur die Struktur der Daten erkennen, sondern auch ablesen, wie viele Datenpunkte sich in der dichten Region befinden.

Die letzte Visualisierung, die wir uns bezüglich des Zusammenhangs von Merkmalen anschauen wollen, zeigt die Korrelationen zwischen den Merkmalen. Wir haben uns Korrelationen bereits im Zusammenhang mit Scatterplots durch die Regressionsgeraden angesehen. Dies ist jedoch relativ aufwendig, insbesondere wenn es viele Merkmale gibt. Der Aufwand steigt quadratisch mit der Anzahl der Merkmale. Eine effizientere Methode, einen Überblick über die Korrelationen zu bekommen, ist eine Korrelations-Heatmap.

# Compute the correlation matrix that contains the correlation coefficients
corr = iris_df.corr()

# we use customized colors
fig, ax = plt.subplots()
cmap = sns.diverging_palette(220, 10, as_cmap=True)
sns.heatmap(corr, square=True, linewidths=.5, 
            vmin=-1.0, vmax=1.0, cmap=cmap, annot=True, ax=ax)
plt.show()
../_images/kapitel_04_51_0.png

Eine Korrelations-Heatmap visualisiert die Werte von Korrelationskoeffizienten zwischen den Merkmalen. Rot heißt, dass es eine positive Korrelation gibt, Blau steht für negative Korrelation. Je schwächer die Farbe, desto schwächer die Korrelation. Konsequenterweise heißt Weiß also, dass es keine Korrelation gibt. Auf der Diagonale gibt es immer eine perfekte positive Korrelation, da selbstverständlich jedes Merkmal mit sich selbst korreliert ist. Außerdem sehen wir die Bestätigung unserer Erkenntnisse über die Korrelationen aus den paarweisen Scatterplots: Es gibt eine starke positive Korrelation zwischen der Breite und Länge der Kelchblätter und keine Korrelation bei den Blütenblättern. Man sieht jedoch noch weitere Korrelationen, zum Beispiel eine negative Korrelation zwischen der Kelchblattlänge und der Blütenblattbreite.

Bemerkung: Selbstverständlich kann man auch andere Farben zur Darstellung der Korrelationskoeffizienten nutzen. Wichtig ist jedoch, dass man eine Farbskala wählt, bei der man die Stärke der Korrelation gut erkennen kann und man gut zwischen positiver und negativer Korrelation unterscheiden kann. Das bedeutet insbesondere auch, dass man Werte in der Nähe von null gut erkennt.

4.3.4. Scatterplots für hochdimensionale Daten

Häufig hat man sehr viele Dimensionen, sodass die Analyse von paarweisen Scatterplots schwierig wird. In diesem Fall kann man Methoden zur Dimensionsreduktion anwenden. Die Idee hierbei ist es, die Korrelationen zwischen den Merkmalen auszunutzen und neue Merkmale zu berechnen, die unkorreliert sind. Bei den neuen Merkmalen beinhalten dann möglichst wenige Merkmale möglichst viel der Informationen aus den ursprünglichen Daten. Ein beliebtes Verfahren hierfür ist die Hauptkomponentenanalyse (engl. principal component analysis / PCA). Bei der PCA wird der Raum von reellwertigen Merkmalen so transformiert, dass das erste Merkmal möglichst viel der Varianz der Daten erklärt, das zweite Merkmal den zweit größten Anteil und so fort. Die neuen Merkmale nennt man auch die Hauptkompnenten (engl. principal components) der Daten. Da die Varianz eines Merkmals direkt mit der vorhandenen Information verwandt ist, beinhaltet also die erste Hauptkomponente die meiste Information, die zweite Hauptkomponente die zweitmeiste Information und so fort. Das liegt ganz einfach daran, dass konstante Merkmale keine Informationen beinhalten. Für die Irisdaten können wir mit der PCA die vier Merkmale auf die ersten zwei Hauptkomponenten reduzieren und mit der Farbe die Art der Iris darstellen.

from sklearn import decomposition

pca = decomposition.PCA()
pca.fit(iris.data)
iris_pca = pca.transform(iris.data)

fig, ax = plt.subplots()
for i, label in enumerate(iris.target_names):
    # we need to plot each type of iris on its own to get colors with a legend
    ax.scatter(iris_pca[iris.target==i,0], iris_pca[iris.target==i,1], label=label)
ax.set_xlabel('1. Hauptkomponente (%.2f Varianz)' % pca.explained_variance_ratio_[0])
ax.set_ylabel('2. Hauptkomponente (%.2f Varianz)' % pca.explained_variance_ratio_[1])
ax.set_title('PCA der Irisdaten (%.2f Varianz erklärt)' % sum(pca.explained_variance_ratio_[:2]))
plt.legend()
plt.show()
../_images/kapitel_04_53_0.png

Die zwei Hauptkomponenten erklären bereits 98% der Varianz der Daten, also beinahe alle Informationen. Man sieht auch, dass sich die Arten der Iris sehr gut unterscheiden lassen und separate Gruppen in den Daten darstellen, auch wenn die Versicolor und die Virginica sehr nah beieinander liegen. Wenn die PCA weniger Varianz der Daten erklärt, kann es sein, dass eine Trennung von Gruppen vorhanden ist, auch wenn man sie nicht sieht: Man bräuchte dann nur die restliche Information, um dies zu erkennen.

Die PCA ist ein mächtiges Werkzeug, um die Dimensionen von Daten zu reduzieren, ohne den Informationsgehalt zu verringern, und insbesondere auch um hochdimensionale Daten darzustellen. Dennoch gibt es zwei wesentliche Nachteile, die auch ähnliche Verfahren betreffen. Das erste Problem ist, dass nicht klar ist, wofür die Hauptkomponenten stehen. Beim paarweisen Scatterplot war klar, welche Beziehungen gezeigt werden und somit auch welche Information. Die Hauptkomponenten sind Linearkombinationen der Merkmale, wie diese kombiniert werden, ist jedoch nicht offensichtlich. Hier könnte man höchstens noch die Transformation der PCA genauer betrachten, um an diese Information zu kommen. Das ist aber sehr komplex. Daher eignet sich die PCA in der Regel nur dafür, zu analysieren, ob Daten entsprechend bestimmter Eigenschaften so aussehen wie erwartet oder erhofft (zum Beispiel ob die Arten von Iris gruppiert sind), es ist jedoch nicht ohne Weiteres möglich, die Verteilung der Datenpunkte zu verstehen. Der zweite Nachteil ist, dass die Information möglicherweise nicht mit dem Ziel der Analyse zusammenhängt. Wenn ein Fragebogen zur Kreditwürdigkeit die Lieblingszahl abfragen würde, hätte dies keinen Bezug zum eigentlichen Ziel der Analyse und die Varianz dieser Information wäre entsprechend auch irrelevant. Daher sollte man bei der PCA vorher sicherstellen, dass nur Merkmale benutzt werden, die mit dem Ziel der Analyse zusammenhängen.

Bermerkung:

Für die PCA interpretiert man die Daten als Matrix \(A\), wobei jede Zeile der Matrix eine Instanz ist. Anschließend muss man die folgenden Schritte durchführen:

  • Zuerst müssen die Spalten der Matrix \(A\) so skaliert werden, dass der Erwartungswert null ist (\(A_0\)). Hierdurch werden Skaleneffekte zwischen den Merkmalen vermieden und die folgenden Berechnungen vereinfacht.

  • Anschließend wird die Kovarianzmatrix \(Cov_A\) von \(A_0\) berechnet. Wir berechnen also die Kovarianzen, um die Korrelation zwischen den Merkmalen auszudrücken.

  • Nun kann man die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(Cov_A\) berechnen. Die Eigenvektoren müssen anhand ihrer Eigenwerte absteigend sortiert werden, sodass jeder Vektor die Spalte einer Matrix \(Eig\) ist. Wenn man die Eigenwerte so reskaliert, dass ihre Summe eins ergibt, erhält man den Anteil der erklärten Varianz der jeweiligen Hauptkomponente.

  • Durch die Matrixmultiplikation von \(Eig\) und \(A_0\) erhält man die Hauptkomponenten von \(A\).

4.4. Übung

In der ersten praktischen Übung geht es darum, selbst einige Daten zu erkunden. Hierzu benutzen wir wieder die Bostondaten, die wir vorher schon in diesem Kapitel verwendet haben.

4.4.1. Deskriptive Statistiken

Untersuchen Sie die Bostondaten mithilfe von deskriptiven Statistiken. Berechnen Sie die Lage durch das arithmetische Mittel und den Median, die Variabilität durch die Standardabweichung und den IQR sowie die Datenbereiche der Merkmale. Das Ziel dieser Aufgabe ist aber nicht die Berechnung dieser Werte, sondern ihre Interpretation. Überlegen Sie sich zum Beispiel, was man über das Merkmal CRIM über das arithmetische Mittel und den Median lernt.

4.4.2. Visualisierungen einzelner Merkmale

Schauen Sie sich die Merkmale zn und indus mithilfe von Histogrammen und Densityplots (mit und ohne Rug) an. Was lernen Sie über diese Daten? Was sind die Vor- und Nachteile der verschiedenen Visualisierungen?

4.4.3. Paarweise Beziehungen

Betrachten Sie die paarweisen Beziehungen der Bostondaten. Benutzen Sie hierfür Scatterplots und eine Korrelations-Heatmap. Was lernen Sie über die Beziehungen aus den Daten? Beachten Sie hierbei insbesondere auch, ob Sie ethisch problematische Eigenschaften finden.


1

https://nbformat.readthedocs.io/en/latest/format_description.html

2

https://doi.org/10.1080/10691898.2007.11889465

3

https://doi.org/10.1145/3025453.3025912